Gentili amici

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Il teorema di Tychonoff afferma che:
"Data una famiglia X_i di spazi topologici compatti,
il loro prodotto (strutturato dalla piu' grossolana
delle topologie rispetto alla quale tutte le funzioni
proiezioni sono continue) è compatto"
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La dimostrazione di questo teorema fa uso del lemma di Zorn,
anzi "si puo' dimostrare che il teorema di Tychonoff è equivalente
al lemma di Zorn".
(cito da: Lipschutz ; Topologia ; McGraw-Hill ; pag. 171)
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Passiamo agli spazi vettoriali.

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"Ad es. grazie all'assunzione del lemma di Zorn si possono enunciare
il teorema di Hahn-Banach in analisi funzionale,
l'esistenza di una base per ogni spazio vettoriale,
il teorema di Tychonoff in topologia,
la compattezza di ogni prodotto di spazi compatti,
l'esistenza di un ideale massimale per ogni anello
e il fatto che ogni campo possiede una chiusura algebrica."
(cito da: http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Zorn).
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Mi domando allora:

1) il teorema che afferma che ogni spazio vettoriale, che
possieda un sistema di generatori finito, possiede una
base (= sitema di generatori libero) ha attinenza con
la precedente proposizione o il lemma di Zorn entra in gioco quando
si deve dimostrare l'esistenza di basi di spazi vettoriali
anche di dimensione non finita?

2) visto che il teorema di Tychonoff è equivalente al lemma
di Zorn, è ragionevole congetturare che l'affermazione che vuole
ogni spazio vettoriale (anche di dimensione non finita) dotato
di una base sia anch'essa equivalente al lemma di Zorn ?
Non lo è nel caso finito, vero ?

3) Qualora il lemma di Zorn concernesse anche l'esistenza di basi in
spazi vettoriali di dimensione finita, dov'è che entra in gioco ?
Ne ho lungamente studiato la dimostrazione ma non sono riuscito a
comprederlo.
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Vi ringrazio per la paziente attenzione.
Cordiali saluti

exSutoreMedicus

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P.S. Anche se il senso della seguente affermazione non è
pubblicamente manifesto, vorrei ugualemente esprimere la
mia gratitudine a quanti mi hanno offerto ,e mi stanno
offrendo la possibilita' di studiare.
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