Salve,

Torunczyk ha dimostrato
nell'articolo scaricabile liberamente dall'indirizzo
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm46/sm4616.pdf
che ogni spazio di Hilbert separabile o no
ammette partizioni dell'unità di classe C^infinito,
difatti egli scrive nell'Abstract di questo articolo:
It is shown that every Hilbert space [...] admit C^infinito-partitions
of unity.


Ciò che mi piacerebbe dimostrare a me è la seguente proposizione:

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\\//Proposizione\\//

Sia H uno spazio di Hilbert

Sia M una varietà
paracompatta
di classe C^infinito modellata
su uno spazio di Hilbert non separabile H.
Allora M ammette partizioni dell'unità di classe C^infinito.
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Se il modello H fosse separabile, allora,
come mostrato da Ionushauskas
nel suo articolo "On smooth partitions of unity on Hilbert
manifolds",
la varietà M ammetterebbe effettivamente partizioni dell'unità di
classe C^infinito.

D'altra parte Torunczyk nel suo articolo scaricabile all'indirizzo
sopra dice anche (pag. 49)
"Let us recall that if a normed linear space E admits C^k-partitions
of unity then every paracompact C^k-manifold M modelled on E also
admits
such partitions".

Purtroppo Torunczyk non dice se k può essere anche k=infinito.

L'idea che mi sono fatto io è che
il problema di determinare partizioni dell'unità
di classe C^infinito su una varietà paracompatta
di classe C^infinito modellata su uno spazio di Hilbert non
separabile
non ammette soluzione in generale.

Se il modello è separabile allora la soluzione c'è (vedi
Ionushauskas);
se si richiede che le partizioni dell'unità sulla varietà siano di
classe C^k con
k< infinito allora pure la soluzione c'è (vedi Torunczyk).

Chiedo un aiuto a voi per provare la verità o la falsità della
proposizione di sopra.

(Tra parentesi Lang nel suo Fundamentals of differential Geometry (il
primo testo che ho consultato) non si pone problemi ed enuncia il
teorema di esistenza di partizioni dell'unità di classe C^k, k
presumibilmente minore di infinito su varietà modellate su Hilbert
separabili)

Ciao