E' noto che se Omega è un dominio limitato e a frontiera Lipschitziana,
allora l'immersione di H^1 in L^2 è compatta. Mi chiedevo, indicato con
U= H^1 x H^1 x H^1, e con V=L^2 x L^2 x L^2 (con x ho indicato il
prodotto cartesiano), è vero che anche l'immersione di U in V è
compatta?

A me pare che sia un risultato di carattere generale e avevo pensato
di procedere in questo modo. Se U1 e V1 sono spazi normati, e
l'immersione di U1 in V1 è compatta, allora posto

    U = U1 x U1 x U1,       V = V1 x V1 x V2

si ha che l'immersione di U in V può essere scritta, introducendo
le seguenti funzioni (con i indico l'immersione compatta di U1 in V1)

             p1       i       q1
(u1,u2,u3) --->  u1  -->  u1 --> (u1,0,0) ,

nella forma (indico con  I  l'immersione di U in V):

I = q1 o i o p1  +  q2 o i o p2  +  q3 o i o p3

Dunque I è esprimibile come somma di operatori compatti (
in quanto le qi sono continue, così come le pi, mentre la i
è compatta) ed è perciò compatta.

Può andare?

Grazie, Josh.