Come da oggetto. E' più semplice pensare non tanto ad un filo
quanto piuttosto ad un foglio, una striscia poggiata su un tavolo,
verticalmente,
i cui estremi siano vincolati in due punti con date direzioni. Che
forma assume la striscia? Anzitutto contiamo i gradi di libertà di
questo problema: sarebbero 6, ma 3 si ottengono ciclicamente
applicando la simmetria per rotazioni. Lo spazio delle soluzioni
ha dunque dimensione 3.

Le equazioni, assumendo l'ipotesi di Bernoulli, che riesco a trovare
sono quattro:

m' = t - n | d tau / dx |
t' = n |d tau / dx|
m = a | d tau/ dx |

che sono espresse in forma scalare, ma possono essere agevolmente
espresse anche in forma vettoriale passando da tre a quattro equazioni,
in quel caso le funzioni incognite passano da quattro a cinque, ma si
aggiunge
il vincolo di unitarietà del vettore normale. A questo livello,
se decidiamo di trascurare completamente le deformazioni
longitudinali, abbiamo semplicemente da sostituire | d tau / d x |
con la curvatura (definita come inverso del raggio di curvatura)
che possiamo indicare con la lettera k e che può essere positiva o
negativa, quindi otteniamo le equazioni più corrette:

m' = t - n k
t' = n k
m = a k

dove a è una costante che dipende dal modulo elastico e dalla sezione
trasversa del foglio. Occorrerebbero altre equazioni costitutive che
legassero in qualche modo t con n ed m. Se consideriamo un breve
tratto di striscia lungo l e con curvatura k, in assenza di momento
flettente agli estremi, occorrerebbe applicare due forze agli estremi
del foglio in modo da mantenerlo in questa configurazione, tuttavia
supponiamo che il foglio sia incastrato ad un estremo e libero all'altro,
in tal caso basterà applicare una forza ortogonalmente all'asse
e proporzionale alla deformazione, quindi a k, la componente di
questa forza nella direzione dell'incastro sarebbe quindi propozionale
a k^2. Poniamo allora, molto a capriccio, occorre precisare, che n = j k^2.
dove j è una costante.

da cui m' = t - j/a m^3
t' = j/a m^3

m'' = t' - 3(j/a)m' m^2

e sostituendo t' = j/a m^3 risulterebbe:

m'' = (j/a) m^3 - 3 (j/a) m' m^2

abbiamo ottenuto uno spazio vettoriale a due gradi di libertà, ma
teniamo presente che questo è implicito nel fatto che abbiamo
incastrato un estremo e lasciato libera la direzione dell'altro estremo
a livello infinitesimo, ipotesi che è molto capricciosa, come già
avvertito. Quindi due domande: quali sarebbero, a vostro giudizio,
delle ipotesi costitutive più ragionevoli? Che nome ha l'equazione
differenziale che ho tirato fuori dal cappello da prestigiatore farlocco?



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